艺术家印象中古希腊公民之间关于几何概念的讨论。由 Amplitude Studios 为视频游戏《人类》制作。泰勒斯认为数学是理解真理的一种手段。

引言

希腊数学是对数字及其属性、模式、结构、空间、表面变化和测量的研究，据说起源于米利都的泰勒斯（约公元前 585 年），但在米诺斯文明（公元前 2000-1450 年）和迈锡尼文明（约公元前 1700-1100 年）时期，人们已经清楚地认识到数学的重要性，并从更古老的美索不达米亚和埃及数学体系中衍生出来。

然而，正如学者罗莎莉-戴维（Rosalie David）所指出的那样，这些系统都有实用目的：

在埃及，数学基本上是为实用目的服务的，似乎并未被视为一门理论科学。(217)

学者 Gwendolyn Leick 对美索不达米亚数学也有同样的看法：

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数学是抄写员培训和实践不可或缺的一部分，早在早期王朝时期的碑文就表明，几何学对于为耕作和灌溉目的划分地块的任务至关重要。(116)

泰勒斯和另一位伟大的早期数学家毕达哥拉斯（约公元前 571 年至约公元前 497 年，以毕达哥拉斯定理而闻名）将数学视为理解真理的手段，将数学从简单的实用工具提升到理解现实的基础。泰勒斯的著作都没有流传下来，但他被认为是希腊的第一位数学家，因为他引入了几何学，而且似乎还应用了几何学。毕达哥拉斯（可能是他的学生之一）将数学作为其哲学的核心，除其他外，他还主张轮回，认为灵魂与数字一样是永恒的，死后会以其他形式回归。

毕达哥拉斯的学生中有梅塔庞顿的希帕斯（Hippasus of Metapontum，约公元前 530 年至约公元前 450 年），他被认为发现了无理数，昔利尼的西奥多鲁斯（Theodorus of Cyrene，约公元前 5 世纪）进一步发展了他的工作。另一位毕达哥拉斯派学者，克罗顿的菲罗拉斯（Philolaus of Croton，约公元前 470 年至约公元前 385 年）提出了火心宇宙模型，他是塔伦图姆（Tarentum，约公元前 5 世纪）大数学家阿基塔斯的老师。阿基塔斯又是克尼多斯的欧多克斯（Eudoxus of Cnidus，约公元前 408 年至约公元前 355 年）的老师，后者也是著名的数学家和天文学家。

这些数学家影响了柏拉图（公元前 424/423-348/347 年）和亚里士多德（公元前 384-322 年）的作品，他们的哲学都受到数学，特别是几何学的影响。欧几里得（约公元前 300 年）通过其著名的《圆》建立了几何学，被称为 "几何学之父"。最著名的希腊数学家是锡拉库扎的发明家和工程师阿基米德（公元前 287-212 年），但其他著名的数学家还包括埃拉托塞尼斯（约公元前 276-195 年）、佩尔加的阿波罗尼乌斯（约公元前 240 年至约 190 年）。约公元前 240 年至约公元前 190 年）、萨摩斯的阿里斯塔尔库斯（约公元前 310 年至约公元前 230 年）、尼西亚的希帕库斯（约公元前 190 年至约公元前 120 年）、亚历山大的梅内劳斯（约公元前 100 年）和克劳狄乌斯-托勒密（公元前 100-170 年）。这些思想家为后来的数学家进一步发展奠定了基础，保存并推进了他们的工作，使数学进步到了现代。

古希腊偷了苏美尔人的数学？

美索不达米亚的苏美尔人在早期王朝时期（公元前 2900-2334 年）就已经发展出了复杂的数学，并使用了 60 的性数位符号。这使他们能够根据 60 的概念创造出目前公认的 "时间 "概念，即把一分钟定义为 60 秒，把一小时定义为 60 分钟。苏美尔系统证明了人们对加法、减法、乘法、除法、代数、几何、倒数、平方和一元二次方程的理解。埃及人更加务实和保守，他们在加法、减法、乘法和除法中加入了微积分元素，或许还有代数元素。

如前所述，美索不达米亚人和埃及人将数学用于实用目的。罗莎莉-戴维详细阐述了这一点：

埃及人当然拥有一套有组织的数学知识体系，但他们利用实践经验而非推理技巧来解决问题。虽然他们从基本概念开始，但很快就发展出了能够解决一些复杂的计算和几何问题的系统，而且他们还使用了分数。(218)

因此，说希腊人发明了数学是不准确的，尽管这种说法已经流传了几个世纪，更准确的说法是他们比早期文明更进一步地发展了数学概念。

尽管苏美尔人的数学非常先进，但从公元前 6 世纪开始，苏美尔人的数学远不及希腊人的数学精炼。例如，毕达哥拉斯定理早在毕达哥拉斯出生之前就为巴比伦人所知，但他的定义不仅保留了这一概念，而且似乎还对其进行了完善。

这块泥板讲述了如何求解数学问题的几何代数理论。结论应用的理论与毕达哥拉斯定理非常相似。出自伊拉克 Tell Tell al-Dhabba'i。古巴比伦时期，公元前 2004-1595 年。/ 图片由 Osama Shukir Muhammed Amin 提供，巴格达伊拉克博物馆，世界历史百科全书

即便如此，那种认为希腊数学和希腊哲学是从早期文明中 "偷窃 "而来的说法也是不准确的，是一种忽视真实历史的过度简化。

埃及象形文字和美索不达米亚楔形文字直到 19 世纪中后期才被破译，而那时，欧洲学者已经完成了大量的历史著作，他们只是通过现有的资料来了解历史： 当时，欧洲学者已经完成了大量的历史著作，而他们对历史的了解仅限于希腊文和拉丁文资料。美索不达米亚和埃及古代神庙、陵墓和碑文上的 "装饰 "并不被认为是文字系统，也不可能被认为是文字系统，因为到 1820 年左右，这些文字还没有被破译。

近代早期和现代学者对古代历史得出的许多结论现在都需要修正--毫无疑问，他们在解释数据时有种族化的动机--但总体而言，他们并没有故意排斥早期文明而偏爱希腊人；他们只是不了解美索不达米亚和埃及的历史。

如果一个人根据自己所做的调查，认为自己的财产占地面积为 X 英尺，但后来邻居告诉他，他实际上拥有这些英尺，那么他就不能被指控偷窃土地，只能说他被误导了。如果一个人不尊重并回应新的信息，那么只能说他有过错。

因此，希腊数学被认为是建立在早期数学体系的基础上，可以追溯到公元前 6 世纪。米诺斯和迈锡尼数学体系在希腊黑暗时代失传，至今尚未重建。因此，人们普遍认为米利都的泰勒斯是第一个将理论数学引入希腊的人，尽管在他之前，其他地区已经有了这门学科。

前苏格拉底哲学家和毕达哥拉斯

泰勒斯是所谓 "前苏格拉底哲学家"（Pre-Socratic Philosophers，雅典苏格拉底（公元前 470/469-399 年）之前生活在希腊的思想家）中的第一人，因此被称为古希腊的第一位哲学家。根据后来的希腊作家的作品，他似乎与巴比伦人和埃及人一样，最初也是将数学用于实用目的。例如，据说他通过计算吉萨金字塔的影子与他自己的影子之间的差值来测量金字塔的高度；当他受雇于克罗埃苏斯国王（公元前 560-547 年）担任工程师时，他运用数学原理解决了一个后勤问题，改变了哈里斯河的河道，使克罗埃苏斯国王（公元前 560-547 年）的军队可以渡河。

米利都的泰勒斯的头像，取自图画本，上面刻有希腊文："ΘΑΛΗΤΟΣ ΜΙΛΗΣΙΟΥ"。/ 大英博物馆提供，创作共用协议

然而，随着时间的推移，他的数学变得更加理论化，他提出了公理、证明，定义了数的含义，发展了几何学，提出了所谓的泰勒斯定理（求圆心），并将数学应用于天文学，准确预测了公元前 585 年 5 月 28 日的日食。

毕达哥拉斯（另一位前苏格拉底时期的哲学家）则将数学进一步发展为一门学科。后来的作家普罗克洛斯（Proclus）指出，"毕达哥拉斯通过在更高的现实境界中寻求几何哲学的首要原则，将几何哲学变成了一种通识教育"（Baird, 16）。对毕达哥拉斯来说，数学是达到目的的手段，但同时也是目的本身。早期的前苏格拉底关注的是找到存在的第一因，提出水、空气、火或其他世界的元素，但毕达哥拉斯声称数学可以解释可见和不可见的世界，因为数字就像创造一样，没有开始或结束。

在毕达哥拉斯看来，数是第一因，因为它可以证明多可以来自一--世界上观察到的多元可以而且确实来自单一来源。毕达哥拉斯的数概念基于圆心的一个点--"一元"，它代表了 "一"、"统一 "的概念。从 "一 "产生了 "二"，两个圆现在共享一个共同的圆心，在它们的交点上横向画一条线，就形成了一个等边三角形，从而将 "二 "转变为 "三"，依此类推，直到 "十"。因此，从 "一 "产生了 "多"，尽管数字看起来在 1-10 之间的序列是有限的，但实际上，它们在 11-20 的序列组合中是无限的，然后是 21-30 ，以此类推，直到永远。

毕达哥拉斯将数字的永恒性应用于人类的灵魂，认为人的灵魂就像数字一样，在肉体死亡后以不同的形式--就像数字序列一样--反复回归，现在以人的形式出现，现在以狗、骡子或苍蝇的形式出现。因此，毕达哥拉斯主张吃素，因为人们无法知道被宰杀的动物是否是自己死去的叔叔或父亲化身为鸡。

萨摩斯毕达哥拉斯半身像 / 图片来源：Skies，卡皮托利尼博物馆，维基共享资源

毕达哥拉斯的学生克罗顿的菲罗拉斯拒绝接受他所认为的建立第一原因的无稽之谈，他将精力集中在对宇宙的数学研究上，最终得出结论：地球（以及所有其他行星和太阳）围绕着一个无边无际的中心之火旋转，这与当时公认的地球是宇宙中心的模型相矛盾。他摒弃了泰勒斯及其追随者阿那克西曼德（Anaximander）和阿那克西美尼斯（Anaximenes）坚持第一因的重要性的迈尔斯学派，转而更实际地运用哲学来认识可观察到的世界是如何运作的。学者罗宾-沃特菲尔德评论道：

[对菲洛劳斯来说]，事物的真正本质只有众神，或者是拥有神性知识的人才能了解；而就事物的本质而言，我们无法了解无限。在某种程度上，斐洛拉乌斯在这里批评了迈尔斯派或类似的试图在世间万物背后推测终极现实的做法。他认为这是不可能的，人们所能做的最好的事情就是试图说出我们所面对的世界存在的必要前提是什么。(93)

阿基塔斯采用了斐洛拉乌斯的方法，并将数学应用于理解世界的形式及其运作方式。事实上，据说柏拉图非常钦佩阿基塔斯将哲学唯心主义与实际应用相结合的能力。

阿基塔斯不仅是塔伦图姆的将军，连续七年被选为将军，被认为是战无不胜的，而且还被称为数学力学的创始人，因解决了被称为 "倍增立方体 "的几何问题而闻名，生前还因对天文学和音乐理论的贡献而闻名于世。

柏拉图和亚里士多德

虽然柏拉图通常不被列入希腊数学家的名单，但他的哲学的基本形式是数学，特别是纯几何学。柏拉图反对像阿布德拉的普罗泰戈拉（Protagoras of Abdera，约公元前 485-415 年）这样的诡辩家所倡导的相对主义，他们声称 "人是衡量万物的尺度"--只有个人才能定义真理--柏拉图坚持普遍的、永恒的真理，这些真理告诉人们什么是世间公认的 "真理"。在柏拉图看来，并不是一个人认为某件事情是 "真 "的，只要它参与了更高境界的真理形式，它就是 "真 "的。

柏拉图认为，几何学确立了这些更高的真理，平息了激情，净化了心灵，使人摆脱了 "真实的谎言 "或 "灵魂中的谎言"，这些谎言使人错误地相信生活中最重要的方面。

希腊哲学家柏拉图的半身像，公元前 1 世纪中叶根据公元前 4 世纪西拉尼翁的雕像原作复制。/ 世界历史百科全书提供

另一方面，亚里士多德（柏拉图最著名的学生）因其对希腊数学的贡献而闻名于世。学者托马斯-马丁（Thomas R. Martin）写道：

亚里士多德认为，科学和哲学不是与普通人的生活相隔绝的抽象学科，而是在生活的方方面面对知识的严谨探索。这种探索是人类理性活动的缩影，只有这种活动才能带来美好的生活和真正的幸福。(185)

对亚里士多德来说，生活的目的就是幸福，而数学鼓励人们认识到通往这一目标的道路。无论是在《形而上学》中解释对称数学及其如何体现美，还是在《尼各马科伦理学》中通过黄金分割点倡导个人平衡，数学对亚里士多德思想的影响不亚于柏拉图。然而，亚里士多德在实用数学上投入的时间比他的老师多得多，在他之后的许多数学家也是如此。

欧几里得、阿基米德、埃拉托斯特尼及其他

欧几里得的《几何原本》是《圣经》之前世界历史上最畅销的书籍，它用 13 卷编纂、解释和扩充了数学，涵盖毕达哥拉斯构造、平行、黄金分割率、泰勒斯定理、素数、圆锥、金字塔、光学、球面，并定义了后来被称为欧几里得几何的内容。他的著作影响深远，广受欢迎，埃及的托勒密一世-索泰尔（公元前 323-282 年）邀请欧几里得到他的宫廷讨论《圆》。学者 Lionel Casson 评论道：

[托勒密一世]肯定至少涉猎过数学，因为正是他在询问欧几里得是否有比通过《元素》学习几何更简便的方法时，得到了著名的回答："没有王道"。(32)

托勒密一世建立了亚历山大图书馆，该图书馆建于托勒密二世-菲拉德尔福斯统治时期（公元前 282-246 年），成为那个时代最伟大思想的灯塔。其中包括锡拉库萨的阿基米德，他是希腊最伟大的数学家，也是今天公认的古代最重要的数学家。阿基米德被誉为 "数学之父"，因为他对数学的贡献包括平面平衡、圆的测量、机械定理、球体和圆柱体的测量、平面平衡、抛物线、椭圆、螺旋面积、浮力概念、根据数学原理发明阿基米德螺钉以及利用阿基米德螺钉发明滑轮和杠杆。据说他死时正专注于一个数学公式，对杀死他的罗马士兵的命令置若罔闻。

阿基米德被认为是最重要的数学家之一。在第二次布匿战争中，他参与了锡拉库扎防御罗马人围攻的战斗，因此极为著名。/维基共享资源提供

埃拉托斯特尼是一位多才多艺的数学家，是亚历山大图书馆的首席图书管理员之一，也是第一个计算出地球周长和撰写已知世界综合地理的人。他甚至被认为是 "地理学 "一词的创造者。他的天文计算结果后来被尼西亚的希帕库斯（Hipparchus of Nicea）采用，希帕库斯被认为是那个时代最伟大的天文学家。

萨摩斯的亚里士多德借鉴了前人的数学发展成果，提出了他的日心宇宙模型，只是被希帕克斯否定了，因为它与亚里士多德提出的当时公认的模型相矛盾，而亚里士多德被认为是这一问题以及其他许多问题的权威。克劳狄乌斯-托勒密在他的《天文学大成》中提炼了过去的天文数据，并贡献了自己的观察结果，他的著作影响了尼古拉斯-哥白尼（1473-1543 年），并激发了现代早期的科学革命。

结论

早在米利都的泰勒斯时代之前，美索不达米亚、古埃及、印度河流域文明和古代中国就已经发展出了数学原理。当我们了解到其他文明的天文学家在 2000 多年前就已经在做同样的事情时，"古代史 "一词在泰勒斯预测公元前 585 年日食时就显得不那么古老了。被誉为 "医学之父 "的希波克拉底实际上是这一领域的后来者；古印度的苏什鲁塔（约公元前 7/6 世纪）在希波克拉底出生前几个世纪就已经开始从事外科手术并撰写医学杂志。

即便如此，这并不影响希腊数学家的贡献。学者托马斯-卡希尔指出

重要的是......要记住所有（希腊哲学家/数学家）的根本问题--"现实的本质是什么？- 时至今日，这仍然是我们每个人在生活中都必须尝试回答的基本问题。当我们回想起这一点--并承认我们在制定令人满意的答案方面进展甚微--我们就会在一定程度上同情他们，同情他们在完成艰巨任务时所表现出的一心一意的精神。因为他们没有准则可循，所以他们对一切事物都刨根问底，希望能找到适当的答案；在这一过程中，他们帮助发明了哲学、神学、物理科学、医学、心理学、政治学和伦理学等学科。(151)

希腊人实际上并没有发明这些学科中的任何一门，但他们对每一门学科概念的发展都为西方文明的进步奠定了基础。

当人们使用智能手机或在个人电脑上搜索晚餐食谱时，我们要感谢希腊数学家，因为他们让我们享受到了这种奢侈；因为他们，还有更多。

参考文献

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